Movimiento Circular

TEORÍA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.
Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular, q

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo q, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.
El ángulo q, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, w

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo q '. El móvil se habrá desplazado Dq=q ' -q en el intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Aceleración angular, a

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en el instante t' la velocidad angular del móvil es w'. La velocidad angular del móvil ha cambiado Dw=w' -w en el intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento q -q₀ entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

El producto w dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t₀ y t.
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t₀ y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Hallamos la posición angular q del móvil en el instante t, sumando la posición inicial q₀ al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva w-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad angular w en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad w -w₀ que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad w -w₀ es el área bajo la curva a - t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.Conociendo el cambio de velocidad angular w -w₀, y el valor inicial w₀ en el instante inicial t₀, podemos calcular la velocidad angular w en el instante t.

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilíneo.

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular w es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular q del móvil en el instante t lo podemos calcular integrandoq -q₀=w(t-t₀)o gráficamente, en la representación de w en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

Movimiento circular uniformemente acelerado

	Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración a es constante.Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular w -w₀ entre los instantes t₀ y t, mediante integración, o gráficamente.
	Dada la velocidad angular w en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento q -q₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ₀

VÍDEO EXPLICATIVO CON EJERCICIOS

Ejercicios resueltos de movimiento circular uniforme

1) Un tocadiscos gira a 90rpm. Halla su velocidad angular en radianes por segundo y calcula su

periodo y frecuencia.

2) Una rueda de bicicleta de 80cm de radio gira a 200 revoluciones por minuto. Calcula: a) su

velocidad angular b) su velocidad lineal en la llanta c) su periodo d) su frecuencia.

3) Un tiovivo gira a 30 revoluciones por minuto. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal

de un caballito que esté a 1,5 metros del centro y de otro que esté a 2 metros. Calcula la aceleración

normal para este último.

4) Un MCU tiene una frecuencia de 60 herzios. Calcula:

a) su velocidad angular

b) su periodo

c) su velocidad angular en revoluciones por minuto.

5) Si el periodo de un MCU se duplica, ¿qué ocurre con...

a) ...su velocidad angular?

b) ...su frecuencia?

c) ...su aceleración normal?

Soluciones

1) Un tocadiscos gira a 90rpm. Halla su velocidad angular en radianes por segundo y calcula su
periodo y frecuencia.
Para pasar de revoluciones por minuto a radianes por segundo, solo tenemos que recordar que una
vuelta entera (360º, una revolución) equivale a 2π radianes (o que media vuelta, 180º, son π
radianes). Con eso ya podemos hacer regla de tres:
1 vuelta → 2π radianes
90 vueltas → x radianes x = 180 π radianes
180 π radianes→ 60 segundos
x radianes → 1 segundo x = 3 π radianes/segundo
Ya tenemos la velocidad angular (ω). El periodo (T) se saca mediante la fórmula:
ω = 2π / T
T = 2π /3π = 2/3 s
La frecuencia (f) es la inversa del periodo:
f = 1/T
f = 3/2 s-1
2) Una rueda de bicicleta de 80cm de radio gira a 200 revoluciones por minuto. Calcula: a) su
velocidad angular b) su velocidad lineal en la llanta c) su periodo d) su frecuencia.
El apartado a) se resuelve igual que el ejercicio anterior:
1 vuelta → 2π radianes
200 vueltas → x radianes x = 400π radianes
400π radianes → 60 segundos
x radianes → 1 segundo x = 20π/3 radianes/segundo
b) Para sacar la velocidad lineal a partir de la angular, solo tenemos que multiplicar por el radio (en
metros). Esto vale para calcular cualquier magnitud lineal a partir de la angular.
v = ω·R
v = 20π/3·0,8 = 16,76 m/s
c) Ya vimos en el ejercicio anterior cómo calcular el periodo a partir de la velocidad angular:
ω = 2π / T
T = 2π /(20π/3) = 3/10 s
d) La frecuencia, acuérdate, es la inversa del periodo:
f = 1/T = 10/3 s-1
3) Un tiovivo gira a 30 revoluciones por minuto. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal
de un caballito que esté a 1,5 metros del centro y de otro que esté a 2 metros. Calcula la
aceleración normal para este último.
La velocidad angular es la misma para los dos caballitos, sin importar lo lejos que estén del centro.
Si no fuera así, algunos caballitos adelantarían a otros dentro del tiovivo. Si la calculas del mismo
modo que en ejercicios anteriores, verás que el resultado es de π radianes/segundo.
Pero la velocidad lineal no es la misma para los dos, porque el caballito que esté más hacia fuera
debe recorrer un círculo mayor en el mismo tiempo. Para calcular las velocidades lineales,
multiplicamos las angulares por los respectivos radios:
caballito 1: v = π · 1,5 = 4,71 m/s
caballito 2: v = π · 2 = 6,28 m/s
Aunque sea un MCU, existe una aceleración, llamada "normal" que es la responsable de que el
objeto se mueva en círculos en vez de en línea recta. Esta aceleración es igual a la velocidad lineal
al cuadrado divivida entre el radio:
an = v2
/R = 6,282/2 = 19,74 m/s2
4) Un MCU tiene una frecuencia de 60 herzios. Calcula:
a) su velocidad angular
b) su periodo
c) su velocidad angular en revoluciones por minuto.
En primer lugar, medir la frecuencia en herzios es lo mismo que medirla en segundos-1, así que no
pienses que eso cambia nada. A partir de la frecuencia, podemos sacar directamente el periodo, y
luego la velocidad angular (respondemos primero al apartado b y luego al a)
T = 1/f = 1/60 s
ω = 2π / T = 2π / (1/60) = 120π rad/s
Para resolver el c, como una revolución son 2π radianes, dividimos entre 2π para ver el número de
vueltas por segundo. Después multiplicamos por 60 para ver el número de vueltas (revoluciones)
por minuto:
120π rad/s : 2π = 60 rps = 3600 vueltas por minuto
5) Si el periodo de un MCU se duplica, ¿qué ocurre con...
a) ...su velocidad angular?
b) ...su frecuencia?
c) ...su aceleración normal?
Este es un típico ejercicio en donde tenemos que operar "sin datos". En realidad no es que falten
datos, sino que tenemos que calcular lo que nos piden en función de otras magnitudes. Por
ejemplo...
a) ... la velocidad angular. La fórmula era
ω = 2π / T
Si en vez de T hubiese 2T (porque el periodo se duplica) ¿cómo queda la nueva velocidad angular?
ω' = 2π / 2T = π / T rad/s
O, lo que es lo mismo, se queda a la mitad de lo que era originalmente.
b) ...su frecuencia. La frecuencia es la inversa del periodo, por lo que si el periodo se duplica:
f = 1/T
f ' = 1/2T s-1
La frecuencia se ve reducida a la mitad.
d) La aceleración normal depende de la velocidad lineal y del radio. Duplicar el periodo no afecta al
radio ni a la velocidad lineal, por lo que la aceleración normal no cambia.